La Criba Gráfica Báez: Una Metodología Visual para el Estudio de la Divisibilidad y la Función Cantidad de Divisores

Susana Silvia Báez Tlaxalo (2025)

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Resumen

Se presenta una nueva herramienta visual denominada Criba Gráfica Báez, que permite identificar números primos mediante la representación geométrica de sus múltiplos en el plano cartesiano.

A diferencia de la criba de Eratóstenes —de carácter aritmético— la criba gráfica revela patrones espaciales, columnas huecas, densidades de múltiplos y estructuras de divisibilidad que resultan útiles tanto para la enseñanza básica como para el estudio visual de propiedades en teoría de números.

Se propone formalizar este método como un modelo geométrico complementario a las cribas clásicas.

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1. Introducción

La búsqueda y caracterización de números primos ha sido una actividad central en la teoría de números desde Euclides. Los métodos tradicionales, como la criba de Eratóstenes, operan eliminando múltiplos a través de reglas aritméticas.

Sin embargo, esta aproximación no hace visible la estructura espacial de los múltiplos ni la relación geométrica entre los números.

En este trabajo se presenta una propuesta original de Susana Silvia Báez Tlaxalo, denominada Criba Gráfica Báez, basada en la representación cartesiana de los múltiplos de cada número natural. Esta representación permite distinguir inmediatamente números primos de compuestos mediante patrones visuales, lo cual tiene aplicaciones principalmente pedagógicas y geométricas.

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2. Construcción de la Criba Gráfica Báez

2.1. Definición geométrica

Sea $\mathbb{N} = \{1,2,3,\dots\}$.
Para cada número natural $n$, se define el conjunto de puntos asociados:

$$P(n) = \{(n, kn) \mid k \in \mathbb{N}\}.$$

Interpretación:

• El eje X contiene los números naturales.

• El eje Y contiene los múltiplos.

• La columna vertical correspondiente a $x = n$ contiene todos sus múltiplos.

Esto genera una “cascada” de puntos organizados en columnas verticales, como se muestra en la figura 1

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2.2. Lectura visual

Al graficar los puntos $P(n)$ para $n = 1, 2, \dots, N$:

• Los números compuestos generan columnas con muchos puntos internos, porque poseen varios divisores.

• Los números primos generan columnas con solo dos puntos significativos:

  $$(p,p) \quad \text{y} \quad (p, kp)$$

  y carecen de puntos intermedios.

Es decir:

Una columna vertical carece de puntos intermedios si y solo si el número en su base es primo.

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3. Propiedad central

Caracterización gráfica de los números primos.

Esta representación está enfocada exclusivamente en ver la forma en la que tanto números primos como compuestos se pueden visualizar para complemento de ayudas pedagógicas.

Sea $n > 1$.
La columna correspondiente a $x=n$ contiene un punto interior entre $(n,n)$ y $(n,kn)$ si y solo si $n$ es compuesto.

Demostración.

• Si $n$ es compuesto, existe un divisor $d$ tal que
  $1 < d < n$.
  Entonces aparece un punto:

  $$(n, d n)$$

  entre los extremos.

• Si $n$ es primo, sus únicos divisores son 1 y $n$.
  Entonces no existe ningún $d$ con $1 < d < n$, por lo que no aparecen puntos interiores.

Este es un teorema demostrado, aquí se muestra la parte concreta a través de graficarlo en el plano cartesiano.

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4. Comparación con la Criba de Eratóstenes

La criba de Eratóstenes elimina múltiplos de forma secuencial.
La criba gráfica Báez no elimina, sino que representa de forma visual, la divisibilidad de cada número.

Criterio	Criba de Eratóstenes	Criba Gráfica Báez
Método	Aritmético	Geométrico
Resultado	Lista de primos	Imagen estructural
Información adicional	Mínima	Divisibilidad, densidad, periodicidad
Aplicación principal	Cálculo numérico	Análisis visual, enseñanza

La criba gráfica amplía la comprensión a través de un medio visual de:

• cómo se distribuyen los múltiplos,

• por qué los primos generan “vacíos”,

• y cómo la estructura del número se manifiesta visualmente.

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5. Conexión con el Teorema Fundamental de la Aritmética

La unicidad de la factorización en primos implica que cada número posee una estructura interna determinada por sus “números primos”.

En la criba gráfica:

• Los primos generan columnas simples.

• La combinación de primos genera columnas densas.

Esto convierte la gráfica en una representación visual del teorema fundamental de la aritmética.

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6. Aplicaciones

6.1. Enseñanza de matemáticas

• Comprensión intuitiva de primos y compuestos

• Introducción a la divisibilidad

• Puente entre visualización y aritmética

6.2. Aproximación visual

La criba gráfica permite:

• estudiar densidades de múltiplos,

• detectar patrones.

7 Discusión y futuras investigaciones.

• La nueva criba abre una nueva herramienta didáctica para el aprendizaje en diversos niveles educativos 

• Durante la realización de la criba se han encontrado distribuciones visuales de patrones recurrentes que se han abordado en otros artículos, estos son:

• coronas: patrones con simetría variable encontradas en la cantidad de divisores de los siguientes números consecutivos, Consideremos los valores de d(n) para n = 10, 11, 12, 13, 14:

  · d(10) = 4 (divisores: 1, 2, 5, 10)

  · d(11) = 2 (divisores: 1, 11)

  · d(12) = 6 (divisores: 1, 2, 3, 4, 6, 12)

  · d(13) = 2 (divisores: 1, 13)

  · d(14) = 4 (divisores: 1, 2, 7, 14)

  La secuencia resultante es 4, 2, 6, 2, 4. Al graficar estos puntos en un plano cartesiano (con n en el eje horizontal y d(n) en el vertical) y unirlos con segmentos de recta, se obtiene una curva que asciende desde n=10 hasta n=12, alcanza un máximo en n=12 y desciende simétricamente hasta n=14. Esta configuración se asemeja a una corona, con un pico central y laterales que decrecen de manera simétrica. Al variar las cantidades, las formas de las coronas también lo hacen, lo interesante es el fenómeno simétrico que se presenta a lo largo de la reta numérica con variantes para ser estudiadas, y que una vez mas deja ver un orden que continúa sin ser explorado.

• patrones de periodicidad: en el que el número de divisores se presentan como un patrón periódico.

• t(40) = 7 2;4;5;8;10;20;40.

  t(41) = 2  41,1.

  t(42) = 7  2;3;6;7;14;21;42.

  t(43) = 2 43,1.

• La secuencia resultante es 7, 2, 7, 2 de este y otras series, que al graficarlas muestran rectas en zig zag.  Nuevamente, las cantidades varían incluso el largo del fenómeno, pues a veces se compone de 4, 5, 6 números consecutivos, alternando entre primos y compuestos, también se ha observado una clase de "paréntesis numérico" que marca el inicio y final en una de estas cadenas periódicas como se muestra en esta secuencia, en donde la cadena es de cuatro enteros con periodicidad de 15, 2 contenido en paréntesis numérico de valor 7:

• t(6789) = 7    3;31;73;93;219;2263;6789.

  t(6790) = 15  2;5;7;10;14;35;70;97;194;485;679;970;1358;3395;6790.

  t(6791) = 2    6791,1.

  t(6792) = 15   2;3;4;6;8;12;24;283;566;849;1132;1698;2264;3396;6792.

  t(6793) = 2     6793,1.

  t(6794) = 7    2;43;79;86;158;3397;6794.

• Conocer el origen tanto de la simetría coronal como de la periodicidad en los divisores de cada número, abre una puerta para profundizar las propiedades de los números compuestos y primos.

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8. Conclusión

La Criba Gráfica Báez constituye una herramienta novedosa que unifica:

• teorema fundamental de la aritmética y su forma gráfica,

• la divisibilidad de los números y su visualización geométrica,

• acercamiento a la observación de los patrones coronales y periódicos, 

• la apreciación estética de las estructuras.

Su simplicidad la hace accesible a cualquier nivel educativo, pero su profundidad la convierte en una herramienta útil para matemáticos que deseen estudiar patrones locales de divisibilidad.

Este trabajo abre la puerta a nuevas líneas de investigación para profundizar en los patrones identificados previamente como las coronas y  periodicidades, en los divisores de los enteros positivos.